Teoremas

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a cento e oitenta graus.

Cada ângulo externo de um triângulo é igual dos dois internos não adjacentes a ele.

Num triângulo isósceles os ângulos de base têm a mesma medida.

Se um triângulo tem dois ângulos com mesma medida, então ele é isósceles.

A altura relativa à base de um triângulo isósceles também é altura e bissetriz.

A bissetriz do ângulo oposto à base de um triângulo isósceles também é altura e mediana.

Conclusão: num triângulo isósceles, a altura, a mediana e a bissetriz, relativas à base, são coincidentes.

Triângulos- Linhas e pontos notáveis

As três medianas de um triângulo são concorrentes em um mesmo ponto chamado baricentro.

O incentro de um triângulo é o centro da circuferência nele inscrita.

Classificação de triângulos

Quantos aos ângulos

acutângulo: todos os ângulos internos são agudos.

retângulo: um ângulo interno é de noventa graus.

obtusângulo: um ângulo interno é obtuso.

Quanto aos lados:

isósceles: possui pelo menos dois lados congruentes.

equilátero: possui os três lados congruentes.

Observação 1: note que, por definição, todo triângulo equilátero é isósceles.O contrário não é, necessariamente, verdade.

Observação 2: no caso de o triângulo ser isósceles não equilátero, o lado diferente dos outros dois é chamado de base eo vértice oposto a ele será chamado vértice de triângulo isósceles.

Observação 3: no triângulo equilátero qualquer lado é base.

Casos de Congruência

Para verificarmos se dois triângulos são congruentes não é necessário verificar as três congruências entre os ângulos e as três congruências entre os lados, como vistas na definição anterior. Basta verificarmos três delas, convenientemente escolhidas, para decidir se os triângulos são ou não congruentes.

Primeiro caso- LAL: se dois triângulos tem ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre esse lados, então os triângulos são semelhantes(isto é, o lado restante e os outros dois ângulos também são ordenadamente congruentes).

Segundo caso-ALA: se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.

Terceiro caso- LLL- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados então esses triângulos são congruentes.

Quarto caso- LAA: se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo posto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.

Quinto caso- Caso especial de congruência de triângulos retângulos: se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.

Congruência de triângulos

Observação: no que segue chamaremos de ângulos congruentes aqueles que tenham mesma medida e lados(ou segmentos) congruentes aquels que tenham a mesma medida.

Definição: dois triângulos são congruentes se for posssível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:

*ângulos de vértices correspopndentes se jam congruentes e
* lados determinados por vértices correspondentes sejam congruentes.

História da Geometria

A Matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade económica de contabilizar diversos tipos de objectos. De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo = terra + metria = medida, ou seja, "medir terra") está intimamente ligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina.
Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais fértil terra lavrável do mundo antigo. A má notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra. Dessa forma, adviam daí conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada. A dimensão desses conflitos pode ser apreciada na repercussão que se encontra no Livro dos Mortos do Egipto, onde uma pessoa acabada de falecer tem de jurar aos deuses que não enganou o vizinho, roubando-lhe terra. Era um pecado punível com ter o coração comido por uma besta horrível chamada o «devorador». Roubar a terra do vizinho era considerado uma ofensa tão grave como quebrar um juramento, assassinar alguém ou masturbar-se num templo. Sem marcos fronteiriços, os agricultores e administradores de templos, palácios e demais unidades produtivas fundadas na agricultura não tinham referência clara do limite das suas possessões para poderem cultivá-la e pagarem os impostos devidos na medida da sua extensão aos governantes.
Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ou esticadores de corda (assim chamados devido aos instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno dividindo-os em retângulos e triângulos.

Ângulos Opostos pelo Vértice

Dois ângulos opostos pelo vértice são ângulos que são formados pelas mesmas retas mas não são adjacentes, ou em outras palavras são ângulos em que um é formado pelas semi-retas opostas às semi-retas que formam o outro.