O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
segunda-feira, 26 de maio de 2008
Trigonometria
A trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os cálculos baseados nelas. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.
A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio
A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio
Teoremas
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a cento e oitenta graus.
Cada ângulo externo de um triângulo é igual dos dois internos não adjacentes a ele.
Num triângulo isósceles os ângulos de base têm a mesma medida.
Se um triângulo tem dois ângulos com mesma medida, então ele é isósceles.
A altura relativa à base de um triângulo isósceles também é altura e bissetriz.
A bissetriz do ângulo oposto à base de um triângulo isósceles também é altura e mediana.
Conclusão: num triângulo isósceles, a altura, a mediana e a bissetriz, relativas à base, são coincidentes.
Cada ângulo externo de um triângulo é igual dos dois internos não adjacentes a ele.
Num triângulo isósceles os ângulos de base têm a mesma medida.
Se um triângulo tem dois ângulos com mesma medida, então ele é isósceles.
A altura relativa à base de um triângulo isósceles também é altura e bissetriz.
A bissetriz do ângulo oposto à base de um triângulo isósceles também é altura e mediana.
Conclusão: num triângulo isósceles, a altura, a mediana e a bissetriz, relativas à base, são coincidentes.
Triângulos- Linhas e pontos notáveis
As três medianas de um triângulo são concorrentes em um mesmo ponto chamado baricentro.
O incentro de um triângulo é o centro da circuferência nele inscrita.
O incentro de um triângulo é o centro da circuferência nele inscrita.
Classificação de triângulos
Quantos aos ângulos
acutângulo: todos os ângulos internos são agudos.
retângulo: um ângulo interno é de noventa graus.
obtusângulo: um ângulo interno é obtuso.
Quanto aos lados:
isósceles: possui pelo menos dois lados congruentes.
equilátero: possui os três lados congruentes.
Observação 1: note que, por definição, todo triângulo equilátero é isósceles.O contrário não é, necessariamente, verdade.
Observação 2: no caso de o triângulo ser isósceles não equilátero, o lado diferente dos outros dois é chamado de base eo vértice oposto a ele será chamado vértice de triângulo isósceles.
Observação 3: no triângulo equilátero qualquer lado é base.
acutângulo: todos os ângulos internos são agudos.
retângulo: um ângulo interno é de noventa graus.
obtusângulo: um ângulo interno é obtuso.
Quanto aos lados:
isósceles: possui pelo menos dois lados congruentes.
equilátero: possui os três lados congruentes.
Observação 1: note que, por definição, todo triângulo equilátero é isósceles.O contrário não é, necessariamente, verdade.
Observação 2: no caso de o triângulo ser isósceles não equilátero, o lado diferente dos outros dois é chamado de base eo vértice oposto a ele será chamado vértice de triângulo isósceles.
Observação 3: no triângulo equilátero qualquer lado é base.
Casos de Congruência
Para verificarmos se dois triângulos são congruentes não é necessário verificar as três congruências entre os ângulos e as três congruências entre os lados, como vistas na definição anterior. Basta verificarmos três delas, convenientemente escolhidas, para decidir se os triângulos são ou não congruentes.
Primeiro caso- LAL: se dois triângulos tem ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre esse lados, então os triângulos são semelhantes(isto é, o lado restante e os outros dois ângulos também são ordenadamente congruentes).
Segundo caso-ALA: se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.
Terceiro caso- LLL- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados então esses triângulos são congruentes.
Quarto caso- LAA: se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo posto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.
Quinto caso- Caso especial de congruência de triângulos retângulos: se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.
Primeiro caso- LAL: se dois triângulos tem ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre esse lados, então os triângulos são semelhantes(isto é, o lado restante e os outros dois ângulos também são ordenadamente congruentes).
Segundo caso-ALA: se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.
Terceiro caso- LLL- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados então esses triângulos são congruentes.
Quarto caso- LAA: se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo posto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.
Quinto caso- Caso especial de congruência de triângulos retângulos: se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.
Congruência de triângulos
Observação: no que segue chamaremos de ângulos congruentes aqueles que tenham mesma medida e lados(ou segmentos) congruentes aquels que tenham a mesma medida.
Definição: dois triângulos são congruentes se for posssível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:
*ângulos de vértices correspopndentes se jam congruentes e
* lados determinados por vértices correspondentes sejam congruentes.
Definição: dois triângulos são congruentes se for posssível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:
*ângulos de vértices correspopndentes se jam congruentes e
* lados determinados por vértices correspondentes sejam congruentes.
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